¿Cómo Construir e Interpretar un Semivariograma?

En el vasto universo de la geoestadística, el semivariograma emerge como una herramienta fundamental para comprender y cuantificar la estructura espacial de los datos. No es solo un gráfico, sino una ventana hacia la autocorrelación espacial, revelando cómo la similitud entre dos puntos disminuye a medida que aumenta la distancia que los separa. Si alguna vez te has preguntado cómo los científicos y analistas espaciales desentrañan patrones ocultos en fenómenos naturales o sociales, el semivariograma es una de las respuestas clave.

Este artículo te guiará a través del proceso de creación e interpretación de un semivariograma, desde sus fundamentos teóricos hasta las consideraciones prácticas para su aplicación. Exploraremos sus componentes esenciales, su relación con otras herramientas como el autocorrelograma y las mejores prácticas para asegurar que tus análisis sean robustos y significativos.

¿Qué es un Semivariograma? La Nube y la Dependencia Espacial

En su esencia, un semivariograma empírico se construye determinando la diferencia cuadrada entre los valores de todos los pares de ubicaciones dentro de un conjunto de datos. Imagina que tienes una serie de mediciones tomadas en diferentes puntos geográficos. Para cada par de estas mediciones, calculas cuánto difieren sus valores y la distancia que los separa.

Cuando se representan gráficamente estos cálculos, con la mitad de la diferencia cuadrada en el eje Y y la distancia que separa las ubicaciones en el eje X, obtenemos lo que se conoce como la “nube de semivariograma”. Esta nube inicial es un conjunto disperso de puntos, donde cada punto representa un par de ubicaciones. Por ejemplo, si tomamos una ubicación específica (un punto rojo en un mapa) y la emparejamos con otras 11 ubicaciones, cada uno de esos 11 emparejamientos contribuirá con un punto a la nube.

El objetivo principal de la variografía es explorar y cuantificar la dependencia espacial, también conocida como autocorrelación espacial. Esta autocorrelación espacial postula que los elementos que están más cerca entre sí son más parecidos que los que están más alejados. Por lo tanto, los pares de ubicaciones que se encuentran más próximos (en el lado izquierdo del eje X de la nube de semivariograma) deberían tener valores más similares, resultando en una diferencia cuadrada menor (ubicándose en la parte inferior del eje Y de la nube de semivariograma). A medida que los pares de ubicaciones se separan (desplazándose hacia la derecha en el eje X), se espera que sean menos similares y, por lo tanto, presenten una diferencia cuadrada más grande (moviéndose hacia arriba en el eje Y).

La línea azul que mejor se ajusta a los puntos de esta nube es lo que finalmente denominamos el semivariograma. Esta línea suaviza la variabilidad de la nube para mostrar la tendencia general de la dependencia espacial. Es crucial entender que, debido a limitaciones de procesamiento (especialmente en términos de tiempo y memoria), si un conjunto de datos de entrada excede las 5,000 observaciones, herramientas como Geostatistical Analyst seleccionarán aleatoriamente 5,000 observaciones para el ajuste del modelo de semivariograma y el análisis estructural. Aunque el modelo resultante generalmente no se ve afectado por este muestreo aleatorio, la presencia de valores muy grandes o atípicos en el conjunto de datos completo podría generar un modelo de semivariograma ligeramente diferente al que se obtendría utilizando todos los datos.

Componentes Clave de un Semivariograma: Parámetros Fundamentales

Todo semivariograma bien modelado exhibe características clave que nos permiten cuantificar la variabilidad espacial. Estos parámetros son esenciales para la interpretación:

• El Efecto Nugget (C0): Representa el valor del semivariograma en lags (distancias) cercanos a cero. Este componente captura la variabilidad no espacial o la variabilidad que ocurre a distancias menores que el intervalo de muestreo más pequeño. Puede deberse a errores de medición, variaciones a muy pequeña escala que no son detectadas por el muestreo, o incluso la presencia de valores atípicos. Es la discontinuidad en el origen del semivariograma y es crucial para entender el nivel de ruido o variabilidad aleatoria inherente en los datos.
• La Meseta o Sill (C0 + C): Es el valor del semivariograma cuando la correlación espacial se vuelve casi nula o se estabiliza. A medida que la distancia entre los puntos aumenta, la semivarianza tiende a alcanzar un valor máximo y luego se mantiene relativamente constante. Este valor asintótico se conoce como la meseta o sill. Representa la varianza total del sistema, incluyendo tanto el efecto nugget como la varianza estructurada espacialmente. Es el nivel de variabilidad intrínseca de la variable una vez que la dependencia espacial ha desaparecido.
• El Rango de Correlación (a): Es la distancia a la cual el semivariograma alcanza la meseta. Más allá de esta distancia, los puntos ya no están espacialmente correlacionados entre sí. Es decir, el rango define el límite de la influencia espacial de un punto sobre otro. Si dos puntos están más cerca que el rango, sus valores tienden a ser similares; si están más lejos, sus valores son independientes. Comprender el rango es vital para determinar distancias óptimas de muestreo y para la interpolación.

Estos tres parámetros juntos caracterizan la naturaleza aleatoria y la variabilidad espacio-temporal del atributo que estamos estudiando. Es importante distinguir entre el sill puro (sin el efecto nugget) y el sill total (que incluye el efecto nugget).

El Cálculo del Semivariograma Empírico: Un Vistazo al Proceso

El cálculo de un semivariograma, aunque complejo en su implementación computacional, se basa en una fórmula fundamental que describe la semivarianza media (γ) para una distancia de lag (h) determinada:

γ(h) = 1 / (2N(h)) * Σ [z(xi) - z(xi+h)]^2

Donde:

• γ(h) es la semivarianza media para la distancia de lag h.
• z(xi) es el valor de la variable en la ubicación xi.
• z(xi+h) es el valor de la variable en una ubicación xi+h, que está a una distancia h de xi.
• N(h) es el número de pares de puntos disponibles para la distancia de lag h.

Esta fórmula nos dice que para cada distancia de lag, sumamos las diferencias al cuadrado entre todos los pares de puntos separados por esa distancia, y luego dividimos esa suma por el doble del número de pares. Un "lag" es simplemente la distancia entre dos puntos (o píxeles). Si el tamaño de un píxel es de 100 m, un lag de 100 m significa que estamos emparejando píxeles directamente vecinos. Si el lag es de 300 m, emparejamos píxeles que están a tres píxeles de distancia (con dos píxeles intermedios).

Proceso Conceptual Paso a Paso:

Para calcular un semivariograma empírico, se siguen estos pasos, que aunque se ilustran a menudo con software específico, se pueden entender conceptualmente:

1. Preparación de Datos: Primero, se cargan los datos espaciales, que pueden ser puntos de muestreo o valores extraídos de un raster a lo largo de un transecto. Es crucial conocer la resolución espacial de los datos, ya que esto determinará los intervalos de las distancias de lag.
2. Cálculo de Distancias entre Pares: Se calcula la distancia de cada punto a todos los demás puntos en el conjunto de datos. Esto genera una matriz de distancias (o lags) entre todos los pares posibles.
3. Cálculo de la Semivarianza para Cada Par: Para cada par de puntos, se calcula la mitad de la diferencia cuadrada de sus valores. Esto resulta en otra matriz, con la misma estructura que la matriz de lags, pero conteniendo los valores de semivarianza para cada par.
4. Agrupación y Promedio por Distancia de Lag: Las semivarianzas individuales se agrupan según la distancia de lag a la que pertenecen. Para cada distancia de lag única, se calcula la semivarianza media. Esto es vital porque para una distancia de lag dada, puede haber múltiples pares de puntos.
5. Construcción del Gráfico: Finalmente, se traza la semivarianza media calculada (eje Y) contra las distancias de lag únicas (eje X). Esto produce el semivariograma empírico.

Interpretación del Gráfico del Semivariograma:

La curva del semivariograma nos da información vital sobre la correlación espacial. Una semivarianza baja indica que los valores son muy similares y, por lo tanto, altamente correlacionados. Por el contrario, una semivarianza alta sugiere una baja correlación entre los pares de puntos. Por ejemplo, si el semivariograma alcanza su máxima semivarianza a una distancia de 2500 m, esto podría indicar que los elementos del paisaje tienden a cambiar su estructura aproximadamente cada 2500 m. A distancias de lag menores que este valor, la correlación entre los valores será alta (semivarianza baja), mientras que a distancias mayores, la correlación disminuirá.

Es una práctica común y recomendable considerar solo distancias de lag hasta la mitad de la distancia máxima presente en el conjunto de datos para garantizar la fiabilidad del semivariograma, ya que los lags más grandes suelen tener menos pares de puntos, lo que reduce su robustez estadística.

Semivariogramas y Autocorrelogramas: Una Relación Complementaria

Además del semivariograma, otra herramienta para evaluar la dependencia espacial es el autocorrelograma. Mientras que el semivariograma mide la disimilitud (semivarianza), el autocorrelograma mide directamente la correlación entre los valores de los puntos a diferentes distancias de lag. La fórmula del autocorrelograma se basa generalmente en el coeficiente de correlación de Pearson.

Conceptualmente, la curva de un autocorrelograma a menudo se ve como una imagen especular del semivariograma. Si el semivariograma aumenta a medida que aumenta el lag (lo que indica una disminución de la similitud), el autocorrelograma disminuirá (lo que indica una disminución de la correlación). La correlación puede ser positiva o negativa. En un autocorrelograma, el punto donde la curva comienza a fluctuar alrededor de cero indica la distancia a partir de la cual ya no hay autocorrelación espacial significativa.

Ambas herramientas son valiosas, pero el semivariograma es a menudo preferido en geoestadística para interpolación (kriging) porque maneja mejor la no estacionariedad de segundo orden (la varianza de las diferencias sí es estacionaria, aunque la media no lo sea). Sin embargo, comprender la relación entre ambos gráficos es fundamental para una interpretación completa de la estructura espacial de los datos.

Variogramas en Entornos 2D: Más allá de los Transectos Lineales

Aunque el ejemplo de cálculo se ha centrado en un transecto unidimensional para simplificar, la mayoría de los análisis geoestadísticos trabajan con datos en entornos bidimensionales, como imágenes raster. En un entorno 2D, los pares de píxeles no solo se forman a lo largo de una línea, sino en todas las direcciones posibles dentro del espacio bidimensional. Esto aumenta drásticamente el número de pares de puntos y, en consecuencia, puede resultar en un semivariograma empírico más suave y representativo, al reducir la influencia de estructuras de paisaje particulares que podrían dominar un transecto lineal.

Las funciones de software para calcular variogramas en 2D a menudo emplean muestreo aleatorio de píxeles, especialmente para conjuntos de datos muy grandes, para manejar las limitaciones computacionales sin sacrificar significativamente la representatividad. También permiten ajustar parámetros como el intervalo de lag, lo que es útil para imágenes de muy alta resolución donde no todos los lags posibles necesitan ser considerados para obtener un diagrama significativo.

El Variograma Cruzado: Entendiendo la Interdependencia Espacial

Más allá de analizar la dependencia espacial de una única variable, la geoestadística nos permite explorar la relación espacial entre dos procesos diferentes utilizando el variograma cruzado. El variograma cruzado basado en la varianza entre dos procesos espaciales, Z1(·) y Z2(·), se expresa como:

var (Z1(u) - Z2(v))

Esta función caracteriza la dependencia espacial cruzada entre Z1(·) y Z2(·) y es fundamental para obtener predictores multivariables óptimos, un proceso conocido como cokriging. También se le ha denominado pseudo variograma cruzado. Una preocupación común con este tipo de variograma ha sido que Z1(·) y Z2(·) podrían medirse en diferentes unidades (por ejemplo, "manzanas" y "naranjas"). Sin embargo, se ha demostrado que el predictor de cokriging basado en variogramas cruzados basados en la varianza puede manejar cualquier unidad utilizada para Z1(·) y Z2(·), lo que lo hace muy versátil y apropiado para el cokriging.

En la práctica, a menudo se asume que los variogramas y variogramas cruzados son funciones solo de la diferencia de ubicaciones (u - v), lo que simplifica los modelos que pueden ajustarse a las medidas de dependencia espacial cruzada.

Consideraciones Cruciales para una Variografía Exitosa

La construcción y el modelado de un semivariograma no son meramente un ejercicio matemático; requieren una comprensión profunda de los datos y del fenómeno físico o natural que representan. Varias consideraciones son vitales para asegurar la fiabilidad y validez de los resultados:

Supuestos del Modelo Geoestadístico:

• Homostacionariedad: Asume que el variograma es invariante bajo traslaciones espacio-temporales, es decir, la estructura de variabilidad es la misma en todo el dominio de estudio.
• Intrínsecidad: Implica que la varianza de los incrementos entre pares de puntos depende únicamente de las distancias y direcciones que los separan (lags), y no de sus coordenadas absolutas.
• Normalidad: En algunos métodos geoestadísticos, se asume que los datos siguen una distribución de probabilidad normal.

Es fundamental probar estos supuestos o, si no se cumplen, considerar transformaciones de datos o técnicas no estándar (como covarianzas generalizadas o Kriging intrínseco).

Preprocesamiento de Datos:

• Eliminación de Tendencias: Si los datos exhiben tendencias naturales sistemáticas (por ejemplo, una variable que aumenta constantemente de norte a sur), deben eliminarse o 'detrendizarse' para obtener residuos homostacionarios.
• Transformación de Datos Sesgados: Las distribuciones de datos asimétricas o sesgadas, especialmente aquellas con valores atípicos muy altos, pueden distorsionar los estimados de los parámetros del variograma y oscurecer los patrones de continuidad reales del atributo. Es común transformar estos datos (por ejemplo, con una transformación logarítmica) antes del cálculo.
• Manejo de Muestras Irregulares o de Diferentes Tamaños: Es importante asegurar una distribución de muestras aproximadamente uniforme para fines de variografía. Las muestras irregularmente distribuidas o de diferentes tamaños pueden requerir la asignación de pesos o la separación en grupos distintos.
• División de Poblaciones de Datos Mixtos: Si un conjunto de datos contiene poblaciones mezcladas con diferentes parámetros (medias, varianzas), la variografía de la población combinada puede producir resultados engañosos. Es preferible dividir el conjunto en subconjuntos con parámetros de población únicos.

Cómputo del Variograma Empírico:

• Configuración: Los variogramas espaciales se configuran computacionalmente por la magnitud del lag, la dirección y la tolerancia angular. Típicamente, se calculan a lo largo de varias direcciones (ej., 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°) para detectar anisotropías.
• Tolerancia Angular: Debe definir adecuadamente el dominio en el que se consideran los datos (ej., datos que caen entre ±5 grados de un ángulo). Debe minimizarse para describir la anisotropía inherente, especialmente si la distribución de datos es altamente anisotrópica.
• Variogramas Multidireccionales: Se calculan a lo largo de las direcciones de variabilidad principales, que a menudo se definen con base en el conocimiento físico. Pueden tener diferentes conjuntos de parámetros (nugget, sill, rango) que ayudan a detectar anisotropías regionales.
• Datos Limitados: Con datos limitados, los parámetros del modelo (nugget, sill, rango, tolerancia angular) deben inferirse con la ayuda de la comprensión física del fenómeno.
• Valores Atípicos: Pueden causar estimaciones erráticas e inestables del sill. El sill total del variograma direccional debe ser menor o igual que la varianza de la muestra. Los valores del variograma por encima de la línea de varianza no deben considerarse, ya que indican que la muestra se comporta como una variable aleatoria pura.
• Tipos de Variogramas: En ciencias humanas (geografía, salud pública), a menudo solo se calculan variogramas horizontales. En ciencias de la tierra (geología, hidrología), un variograma también puede necesitar ser calculado a lo largo de la dirección vertical. Los variogramas horizontales pueden indicar la orientación de la dirección de los datos, especialmente cuando las continuidades direccionales no se detectan a partir de la información física.
• Intervalo de Muestreo: A lo largo de cualquier dirección en el espacio y el tiempo, el intervalo de muestreo no debe exceder la mitad del rango de correlación en la misma dirección.
• Formas del Variograma: Las formas hiperbólicas (no asintóticas) pueden indicar tendencias de datos no detectadas. Los variogramas con formas erráticas pueden indicar conjuntos de datos sesgados o con valores extremos.

Reglas Generales de Confiabilidad para el Cómputo del Variograma Empírico:

• Si se dispone de menos de 50 puntos de datos, el variograma empírico puede no ser fiable.
• Con 100-150 puntos, el variograma se considera fiable.
• Con más de 150 muestras, se puede tener plena confianza en los valores del variograma computado.

Generar variogramas experimentales omnidireccionales puede ser útil para identificar el sill y, si las muestras están bien distribuidas en una cuadrícula equidimensional, estimar el nugget. Las "rosas de variograma" pueden construirse para identificar rápidamente la anisotropía y las direcciones principales de variabilidad.

Modelado del Semivariograma: La Clave para la Predicción

Una vez que se ha calculado el semivariograma empírico, el siguiente paso crucial es ajustarle un modelo matemático. Los modelos de variograma son funciones analíticas que representan las correlaciones cronotopológicas de los datos de manera conveniente. Un modelado adecuado es un factor crítico para obtener una caracterización de variabilidad físicamente significativa.

La selección de un modelo de variograma implica un grado de subjetividad, influenciado por la intuición física, el conocimiento y la experiencia del analista. A menudo, el modelo se elige de clases predefinidas de funciones matemáticas (esférico, exponencial, gaussiano, etc.) y se ajusta a los valores del variograma empírico, calculando los parámetros correspondientes (sill, nugget, rango).

Dado que la naturaleza a menudo presenta características complejas que violan los supuestos básicos del modelado (como tendencias o ciclicidad), los variogramas realistas pueden necesitar consistir en combinaciones elaboradas de modelos de variograma estándar. Es fundamental que cualquier nuevo modelo de variograma construido satisfaga las condiciones de permisibilidad del variograma para ser matemáticamente válido en aplicaciones geoestadísticas.

Preguntas Frecuentes (FAQ) sobre Semivariogramas

¿Para qué sirve un semivariograma?

Un semivariograma sirve para cuantificar la dependencia espacial (autocorrelación) de una variable. Permite determinar cómo la similitud entre dos puntos disminuye a medida que aumenta la distancia entre ellos. Es esencial para la interpolación espacial (Kriging), el diseño de redes de muestreo y la comprensión de la estructura de variabilidad de un fenómeno.

¿Cuál es la diferencia entre el Nugget, el Sill y el Rango en un semivariograma?

El Nugget representa la variabilidad a muy corta distancia o el ruido de medición. El Sill es el valor máximo de la semivarianza, indicando la varianza total cuando no hay correlación espacial. El Rango es la distancia a la cual la semivarianza alcanza el Sill, marcando el límite de la influencia espacial entre los puntos.

¿Qué significa que un semivariograma suba y luego se estabilice?

Que el semivariograma suba significa que la disimilitud entre los puntos aumenta a medida que se separan, lo cual es indicativo de autocorrelación espacial positiva. Que se estabilice (alcance el Sill) indica que, a partir de cierta distancia (el Rango), los puntos ya no están espacialmente correlacionados entre sí y se comportan de forma independiente.

¿Puedo calcular un semivariograma con pocos datos?

Es posible, pero el semivariograma empírico resultante puede no ser fiable. Se recomienda un mínimo de 100-150 puntos de datos para obtener un semivariograma con buena confiabilidad, y más de 150 puntos para plena confianza. Con menos de 50 puntos, los resultados suelen ser muy inestables.

¿Qué es la anisotropía en un variograma?

La anisotropía se refiere a la situación en la que la dependencia espacial varía en diferentes direcciones. Un variograma isotrópico muestra la misma dependencia en todas las direcciones. Si un semivariograma exhibe diferentes rangos o sills en distintas orientaciones, indica anisotropía, lo que significa que la variabilidad no es uniforme en el espacio y debe ser considerada en el modelado.

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